柯西不等式：数学中的重要不等式

柯西不等式（Cauchy Inequality），又称为柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality），是数学中的一个重要不等式。它在线性代数和解析几何中有广泛的应用。

柯西不等式的数学表达式为：

对于任意的实数a₁, a₂, ..., aₙ和b₁, b₂, ..., bₙ，有：

|a₁b₁ a₂b₂ ... aₙbₙ| ≤ sqrt(a₁² a₂² ... aₙ²) * sqrt(b₁² b₂² ... bₙ²)

其中，sqrt表示平方根。

该不等式说明了向量的内积（点乘）的性质。它告诉我们对于任意的向量a和b，它们的内积的绝对值不超过它们的模（长度）的乘积。

柯西不等式的应用非常广泛，包括但不限于以下领域：

• 线性代数
• 解析几何
• 概率论与统计学
• 信号处理
• 优化方法

总结起来，柯西不等式是数学中不可或缺的一部分，它帮助我们理解向量内积的性质，扩展了许多数学领域的研究。